Question

已知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，且b_n=

1

an

-1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若S=a_n+a_n+1+…+a_2n-1（m∈N^*），證明：S＜

1

2•3n-1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，可得bn=3n，利用b_n=

1

an

-1（n∈N^*）即可得出．
（2）S=a_n+a_n+1+…+a_2n-1=

1

3n+1

+

1

3n+1+1

+…+

1

32n-1+1

＜

1

3n

+

1

3n+1

+…+

1

32n-1

，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）由數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴bn=3n，
∵b_n=

1

an

-1（n∈N^*）．
∴a_n=

1

3n+1

．
（2）由（1）知：S=a_n+a_n+1+…+a_2n-1
=

1

3n+1

+

1

3n+1+1

+…+

1

32n-1+1

＜

1

3n

+

1

3n+1

+…+

1

32n-1

=

1 3n (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2×3n-1

(1-

1

3n

)＜

1

2×3n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、放縮法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．