Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）（n≥2），試猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（　�。�

• A、a_n=

  1

  n

• B、a_n=

  1

  2

  （n+

  1

  n

  ）
• C、a_n=n
• D、a_n=1

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：推理和證明

分析：由已知中a₁=1，a_n=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）（n≥2），逐一求出a_n的值，歸納推理可得數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答： 解：∵a₁=1，a_n=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）（n≥2），
∴a2=

1

2

(a1+

1

a1

)=

1

2

(1+1)=1，
a3=

1

2

(a2+

1

a2

)=

1

2

(1+1)=1，
a4=

1

2

(a3+

1

a3

)=

1

2

(1+1)=1，
…
由此猜想a_n=1．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，a_k=1成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=

1

2

(ak+

1

ak

)=

1

2

(1+1)=1，也成立．
由①②，知a_n=1．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意遞推公式和數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．