已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率e=
2
2
,且其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y=
1
4
x2
的焦點(diǎn)重合.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)S(-
1
3
,0)的動直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得無論l如何轉(zhuǎn)動,以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T,若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)先設(shè)處橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)離心率求的a和c的關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求得c,進(jìn)而求得a,則b可得,進(jìn)而求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)若直線l與x軸重合,則以AB為直徑的圓是x2+y2=1,若直線l垂直于x軸,則以AB為直徑的圓是(x+
1
3
2+y2=
16
9
.聯(lián)立兩個(gè)圓的方程求得其交點(diǎn)的坐標(biāo),推斷兩圓相切,進(jìn)而可判斷因此所求的點(diǎn)T如果存在,只能是這個(gè)切點(diǎn).證明時(shí)先看直線l垂直于x軸時(shí),以AB為直徑的圓過點(diǎn)T(1,0).再看直線l不垂直于x軸,可設(shè)出直線方程,與圓方程聯(lián)立消去y,記點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)偉大定理求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式,代入
TA
TB
的表達(dá)式中,求得
TA
TB
=0,進(jìn)而推斷TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T(1,0).
解答:解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)
,離心率e=
2
2
,
c
a
=
2
2
,拋物線y=
1
4
x2
的焦點(diǎn)為(0,1),所以c=1,a=
2
,b=1
,橢圓C的方程是x2+
y2
2
=1
(Ⅱ)若直線l與x軸重合,則以AB為直徑的圓是x2+y2=1,若直線l垂直于x軸,則以AB為直徑的圓是(x+
1
3
2+y2=
16
9

x2+y2=1
(x+
1
3
)
2
+y2=
16
9
解得
x=1
y=0
即兩圓相切于點(diǎn)(1,0).
因此所求的點(diǎn)T如果存在,只能是(1,0).
事實(shí)上,點(diǎn)T(1,0)就是所求的點(diǎn).證明如下:
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),以AB為直徑的圓過點(diǎn)T(1,0).
若直線l不垂直于x軸,可設(shè)直線l:y=k(x+
1
3
).
y=k(x+
1
3
)
x2+
y
2
2
=1
即(k2+2)x2+
2
3
k2x+
1
9
k2-2=0.
記點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則
x1+x2=
-
2
3
k2
k2+2
x1x2=
1
9
k2-2
k2+2

又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
TA
=(x1-1,y1),
TB
=(x2-1,y2),
TA
TB
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+
1
3
)(x2+
1
3

=(k2+1)x1x2+(
1
3
k2-1)(x1+x2)+
1
9
k2+1
=(k2+1)
1
9
k2-2
k2+2
+(
1
3
k2-1)
-
2
3
k2
k2+2
+
1
9
k2
+1=0,
所以TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T(1,0).
所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(1,0)滿足條件
點(diǎn)評:本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的綜合問題.考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C任意一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-
3
,0)
F2(
3
,0)
的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過(0,-2)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),且
OA
OB
=0
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點(diǎn)P(1,
32
)在橢圓C上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)如圖,動直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線l上的兩點(diǎn),且F1M⊥l,F(xiàn)2M⊥l,求四邊形F1MNF2面積S的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)P(
3
1
2
)
,離心率是
3
2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線l過點(diǎn)E(-1,0)且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),若|EA|=2|EB|,求直線l的方程.

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(2013•和平區(qū)一模)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
1
2
,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y=
3
12
x2的焦點(diǎn).
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對稱的任意兩點(diǎn),設(shè)P(-4,0),連接PA交橢圓C于另一點(diǎn)E,求證:直線BE與x軸相交于定點(diǎn)M;
(III)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),在(II)的條件下,過點(diǎn)M的直線交橢圓C于S、T兩點(diǎn),求
OS
OT
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),它的一條準(zhǔn)線為x=-
5
2
,離心率為
2
5
5

(1)求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn),交y軸于M點(diǎn),若
MA
=λ1
AF
, 
MB
=λ2
BF
,求λ12的值.

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