【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的極值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對(duì)于任意的都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)當(dāng)時(shí), 取得極小值為,無極大值.;(Ⅱ)當(dāng)時(shí), 在和上是減函數(shù),在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí), 在上是減函數(shù),當(dāng)時(shí), 在和上是減函數(shù),在上是增函數(shù);(Ⅲ) .
【解析】試題分析:
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí), ,定義域?yàn)?/span>, .據(jù)此可得當(dāng)時(shí), 取得極小值為,無極大值.
(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且.分類討論有:
(1)當(dāng)時(shí), 在和上是減函數(shù),在上是增函數(shù);
(2)當(dāng)時(shí), 在上是減函數(shù);
(3)當(dāng)時(shí), 在和上是減函數(shù),在上是增函數(shù)
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知,當(dāng)時(shí), 在上是減函數(shù).原問題等價(jià)于對(duì)任意恒成立,分離參數(shù)有對(duì)任意恒成立.據(jù)此可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.
試題解析:
(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ,定義域?yàn)?/span>,
的導(dǎo)函數(shù).
當(dāng)時(shí), , 在上是減函數(shù);
當(dāng)時(shí), , 在上是增函數(shù).
∴當(dāng)時(shí), 取得極小值為,無極大值.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí), 的定義域?yàn)?/span>, 的導(dǎo)函數(shù)為.
由得, , .
(1)當(dāng)時(shí), 在和上是減函數(shù),在上是增函數(shù);
(2)當(dāng)時(shí), 在上是減函數(shù);
(3)當(dāng)時(shí), 在和上是減函數(shù),在上是增函數(shù)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng)時(shí), 在上是減函數(shù).
∴.
∵對(duì)于任意的都有,
∴對(duì)任意恒成立,
∴對(duì)任意恒成立.
當(dāng)時(shí), ,∴.
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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【題目】已知圓C過點(diǎn)M(0,﹣2),N(3,1),且圓心C在直線x+2y+1=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)問是否存在滿足以下兩個(gè)條件的直線l:①斜率為1;②直線被圓C截得的弦為AB,以AB為直徑的圓C1過原點(diǎn).若存在這樣的直線,請(qǐng)求出其方程;若不存在,說明理由.
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【題目】已知橢圓和直線: ,橢圓的離心率,坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知定點(diǎn),若直線過點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn),試判斷是否存在直線,使以為直徑的圓過點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,已知c=2,C= . (Ⅰ)若△ABC的面積等于 ,求a,b;
(Ⅱ)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為倡導(dǎo)全體學(xué)生為特困學(xué)生捐款,舉行“一元錢,一片心,誠(chéng)信用水”活動(dòng),學(xué)生在購(gòu)水處每領(lǐng)取一瓶礦泉水,便自覺向捐款箱中至少投入一元錢。現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)5天的售出和收益情況,如下表:
售出水量x(單位:箱) | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收益y(單位:元) | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
(Ⅰ) 若x與y成線性相關(guān),則某天售出8箱水時(shí),預(yù)計(jì)收益為多少元?
(Ⅱ) 期中考試以后,學(xué)校決定將誠(chéng)信用水的收益,以獎(jiǎng)學(xué)金的形式獎(jiǎng)勵(lì)給品學(xué)兼優(yōu)的特困生,規(guī)定:特困生考入年級(jí)前200名,獲一等獎(jiǎng)學(xué)金500元;考入年級(jí)201—500 名,獲二等獎(jiǎng)學(xué)金300元;考入年級(jí)501名以后的特困生將不獲得獎(jiǎng)學(xué)金。甲、乙兩名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為,獲二等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為,不獲得獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為.
⑴在學(xué)生甲獲得獎(jiǎng)學(xué)金條件下,求他獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率;
⑵已知甲、乙兩名學(xué)生獲得哪個(gè)等第的獎(jiǎng)學(xué)金是相互獨(dú)立的,求甲、乙兩名學(xué)生所獲得獎(jiǎng)學(xué)金總金額X 的分布列及數(shù)學(xué)期望。
附: , 。
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【題目】已知如下等式: , , ,…當(dāng)n∈N*時(shí),試猜想12+22+32+…+n2的值,并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.
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【題目】如圖,在三棱錐D﹣ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E為BC點(diǎn),F(xiàn)棱AC上,且AF=3FC.
(1)求三棱錐D﹣ABC的體積;
(2)求證:AC⊥平面DEF;
(3)若M為DB中點(diǎn),N在棱AC上,且CN= CA,求證:MN∥平面DEF.
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