對(duì)數(shù)列,規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中, 對(duì)自然數(shù),規(guī)定階差分?jǐn)?shù)列,其中

(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式,試判斷,是否為等差或等比數(shù)列,為什么?

(2)若數(shù)列首項(xiàng),且滿(mǎn)足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

(3)對(duì)(2)中數(shù)列,是否存在等差數(shù)列,使得對(duì)一切自然都成立?若存在,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;若不存在,則請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

【答案】

(1)是首項(xiàng)為2,公差為0的等差數(shù)列;也是首項(xiàng)為2,公比為1的等比數(shù)列。

(2),,,猜想:

證明:數(shù)學(xué)歸納法。

(3)組合數(shù)性質(zhì)證得,存在等差數(shù)列,,使得對(duì)一切自然都成 。

【解析】

試題分析:(1), 1分

是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列。            2分

                3分

是首項(xiàng)為2,公差為0的等差數(shù)列;也是首項(xiàng)為2,公比為1的等比數(shù)列。

4分

(2),即,即,∴          6分

,∴,,,猜想:

7分

證明:。┊(dāng)時(shí),

ⅱ)假設(shè)時(shí),            8分

時(shí), 結(jié)論也成立

∴由。ⅱⅲ┛芍,           10分

(3),即

.   ...11分

       13分

∴存在等差數(shù)列,,使得對(duì)一切自然都成  14分

考點(diǎn):等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),數(shù)學(xué)歸納法,組合數(shù)的性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng):中檔題,本題綜合性較強(qiáng),將數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、組合數(shù)公式等綜合考查。利用“功能、猜想、證明”的方法,研究得到數(shù)列的特征,是常見(jiàn)題型。(3)小題利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及組合數(shù)公式,得到證明恒等式的目的。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)數(shù)列,規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中。對(duì)正整數(shù)k,規(guī)定的k階差分?jǐn)?shù)列,其中。

(1)       若數(shù)列首項(xiàng),且滿(mǎn)足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)       對(duì)(1)中的數(shù)列,是否存在等差數(shù)列,使得對(duì)一切正整數(shù)都成立?若存在,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)       令,設(shè),若恒成立,求最小的正整數(shù)M的值。

 

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本小題共13分)
對(duì)數(shù)列,規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中N*).對(duì)正整數(shù)k,規(guī)定k階差分?jǐn)?shù)列,其中

(Ⅰ)若數(shù)列的首項(xiàng),且滿(mǎn)足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)對(duì)(Ⅰ)中的數(shù)列,若數(shù)列是等差數(shù)列,使得
對(duì)一切正整數(shù)N*都成立,求;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,令設(shè)成立,求最小正整數(shù)的值.

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對(duì)于數(shù)列,規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中.對(duì)自然數(shù),規(guī)定為數(shù)列階差分?jǐn)?shù)列,其中

⑴若,則                       

⑵若,且滿(mǎn)足,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為                 .

 

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本小題共13分)

對(duì)數(shù)列,規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中N*).對(duì)正整數(shù)k,規(guī)定 k階差分?jǐn)?shù)列,其中

(Ⅰ)若數(shù)列的首項(xiàng),且滿(mǎn)足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)對(duì)(Ⅰ)中的數(shù)列,若數(shù)列是等差數(shù)列,使得

對(duì)一切正整數(shù)N*都成立,求

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下,令設(shè)成立,求最小正整數(shù)的值.

 

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