Question

是否存在正整數(shù)a，使得1ⁿ+3ⁿ+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

(an)n對(duì)一切正整數(shù)n均成立？若存在，求a的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)t（x）=e^x-x-1，則t′（x）=e^x-1，從而得到e^x≥x+1，取x=-

i

2n

，用累加法得到得(

1

2n

)n+(

3

2n

)n+…+(

2n-1

2n

)n＜e-

2n-1

2

+e-

2n-3

2

+…+e-

1

2

＜

e

e-1

．
由此能夠推導(dǎo)出存在正整數(shù)a=2，使得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜•（an）ⁿ．

解答： 解：設(shè)t（x）=e^x-x-1，
則t′（x）=e^x-1，令t′（x）=0得：x=0．
在x＜0時(shí)t′（x）＜0，f（x）遞減；在x＞0時(shí)t′（x）＞0，f（x）遞增．
∴t（x）最小值為t（0）=0，故e^x≥x+1，
取x=-

i

2n

，
得1-

i

2n

≤e-

i

2n

，即(

2n-i

2n

)n≤e-

i

2

，
累加得(

1

2n

)n+(

3

2n

)n+…+(

2n-1

2n

)n＜e-

2n-1

2

+e-

2n-3

2

+…+e-

1

2

=

e- 1 2 (1-e-n)

1-e-1

＜

e

e-1

．
∴1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

•（2n）ⁿ，
故存在正整數(shù)a=2．使得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

•（an）ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式恒成立問題，探索滿足條件的實(shí)數(shù)的最小值的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，解答的關(guān)鍵是合理地運(yùn)算導(dǎo)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，是壓軸題．