Question

直線l與橢圓+=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且橢圓的離心離e=,又橢圓經(jīng)過點(,1),O為坐標(biāo)原點.

(1)求橢圓的方程.

(2)試問:△AOB的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.

 

Answer 1

(1) +x2=1. (2) 定值.理由見解析

【解析】(1)∵∴a=2,b=1,

∴橢圓的方程為+x2=1.

(2)①當(dāng)直線AB斜率不存在時,即x1=x2,y1=-y2,

由已知m·n=0,得4-=0⇒=4,

又A(x1,y1)在橢圓上,

所以+=1⇒|x1|=,|y1|=,

S△AOB=|x1||y1-y2|=|x1|·2|y1|=1,三角形的面積為定值.

②當(dāng)直線AB斜率存在時,設(shè)AB的方程為y=kx+t,

由⇒(k2+4)x2+2ktx+t2-4=0,必須Δ>0,即4k2t2-4(k2+4)(t2-4)>0,

得到x1+x2=,x1x2=,

∵m⊥n,∴4x1x2+y1y2=0?4x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,代入整理得:2t2-k2=4,

S=×|AB|=|t|===1,

所以三角形的面積為定值.