Question

13、某個(gè)體經(jīng)營(yíng)者，一月初向銀行貸款1萬(wàn)元作為開店啟動(dòng)資金，每月月底獲得的利潤(rùn)是該月月初投入資金的20%，每月月底需要交納所得稅為該月利潤(rùn)的10%，每月的生活費(fèi)開支為540元，余款作為資金全部投入下個(gè)月的經(jīng)營(yíng)，如此不斷繼續(xù)．問到這年年底該個(gè)體戶還貸款前尚余多少資金？假設(shè)銀行貸款的年利息為5%，該個(gè)體戶還清銀行貸款后還有多少資金？（參考數(shù)據(jù)：1.18¹⁰≈5.23，1.18¹¹≈6.18，1.18¹²≈7.29．結(jié)果精確到0.1元）

Answer 1

分析：表示出第一個(gè)月底的余款，表示出第二個(gè)月底的余款，寫出第n個(gè)月底的余款，整理出關(guān)于n的數(shù)列，配湊出等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式做出結(jié)果．

解答：解：第一個(gè)月月底的余款
a₁=10000×（1+20%）-10000×20%×10%-540=11260（元）．
設(shè)第n個(gè)月月底的余款為a_n元，第n+1個(gè)月月底的余款為a_n+1元，
則有a_n+1=a_n×（1+20%）-a_n×20%×10%-540=1.18a_n-540．
令（a_n+1-t）=1.18（a_n-t），得0.18t=540
∴t=3000
從而有a _n+1-3000=1.18（a_n-3000），
設(shè)bn=a_n-3000，b₁=7000，
∴{bn}是等比數(shù)列bn=b ₁×1.18^n-1，
∴a_n=7000×1.18^n-1+3000，
a₁₂=7000×1.18 ¹¹+3000≈46260，
還貸后純收入為46260-10000（1+5%）=35760元．
即還清銀行貸款以后還有35760元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要注意認(rèn)真審題，本題解題的關(guān)鍵是整理出每個(gè)月底的余款，配湊出等比數(shù)列．