已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=ax（x-2）2（x∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）有極大值32，求實數(shù)a的值；
（2）若對?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜
16
9
恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
（1）∵f（x）=ax（x-2）2=ax3-4ax2+4ax，
∴f′(x)=3ax2-8ax+4a=3a(x-
2
3
)(x-2)．
令f′（x）=0，解得3a(x-
2
3
)(x-2)=0，
∴x=
2
3
或x=2．
∵f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有極大值32，又f（2）=0．
∴f（x）在x=
2
3
時取得極大值，
∴f(
2
3
)=
32
27
a=32，a=27．
（2）由f′(x)=3a(x-
2
3
)(x-2)知：
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）在[-2，
2
3
]上是增函數(shù)，在[
2
3
，1]上是減函數(shù)．
此時，ymax=f(
2
3
)=
32
27
a．
又對?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜
16
9
恒成立．
∴
32
27
a＜
16
9
得a＜
3
2
，
∴0＜a＜
3
2
．
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）在[-2，
2
3
]上是減函數(shù)，在[
2
3
，1]上是增函數(shù)．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，
此時，ymax=f（-2）=-32a．
又對?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜
16
9
恒成立．
∴-32a＜
16
9
得a＞-
1
18
，
∴-
1
18
＜a＜0．
故所求實數(shù)的取值范圍是(-
1
18
，0)∪(0，
3
2
)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有極大值32，則實數(shù)a的值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=ax（x-2）2（x∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）有極大值32，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對于x∈[-2，1]，不等式f(x)＜
329
恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實數(shù)a≤0，函數(shù)f（x）=|x|（x-a）．
（I）討論f（x）在R上的奇偶性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-1，
12
]的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)=a(x-2)2+2lnx，g(x)=f(x)-4a+
1
4a
．
（1）當(dāng)a=1時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，4]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若當(dāng)x∈[2，+∞）時，函數(shù)g（x）圖象上的點均在不等式
x≥2
y≥x
，所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•韶關(guān)二模）已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)=
x2+2a， x＜1
-x，x≥1
，若f（1-a）≥f（1+a），則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案