Question

已知函數(shù)f(x)=

2

sin(x+φ)[sin(x+φ)+cos(x+φ)]-

2

2

（0＜φ＜π），若f(x)=f(

π

3

-x)對(duì)x∈R恒成立，且f(

π

2

)＞f(π)．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

2

]時(shí)，求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)多項(xiàng)式乘法展開(kāi)．利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用函數(shù)的對(duì)稱軸，求出變量可求y=f（x）的解析式；
（2）通過(guò)x∈[-

π

12

，

π

2

]，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的最值直接求解求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）f(x)=

2

cos(x+φ)sin(x+φ)+

2

sin2(x+φ)-

2

2

=

2

2

sin(2x+2φ)+

2

2

[1-cos(2x+2φ)]-

2

2

=sin(2x+2φ-

π

4

)
又由f(x)=f(

π

3

-x)，可知x=

π

6

為函數(shù)的對(duì)稱軸
則2×

π

6

+2φ-

π

4

=kπ+

π

2

，φ=

kπ

2

+

5π

24

，k∈Z，
由（0＜φ＜π），可知φ=

5π

24

或φ=

17π

24

又由f(

π

2

)＞f(π)，可知-sin(2φ-

π

4

)＞sin(2φ-

π

4

)，
可得sin(2φ-

π

4

)＜0
驗(yàn)證φ=

5π

24

或φ=

17π

24

，
則φ=

17π

24

，所以y=f(x)=-sin(2x+

π

6

)
（2）當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

2

]，2x+

π

6

∈[0，

7π

6

]
若2x+

π

6

∈[0，

π

2

]，即x∈[-

π

12

，

π

6

]時(shí)，y=f（x）單減．
若2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]，即x∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，y=f（x）單增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)性的判斷求解，考查計(jì)算能力．