Question

15．定義在$（0\;，\;\frac{π}{2}）$上的函數(shù)f（x），f'（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f（x）•tanx+f'（x）＜0成立，則（　�。�

• A． $\sqrt{2}f（\frac{π}{3}）＞f（\frac{π}{4}）$
• B． $\sqrt{3}f（\frac{π}{4}）＞\sqrt{2}f（\frac{π}{6}）$
• C． $f（\frac{π}{3}）＞\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）$
• D． $\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）＜f（\frac{π}{6}）$

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性即可．

解答 解：定義在$（0\;，\;\frac{π}{2}）$上的函數(shù)f（x），恒有f（x）•tanx+f'（x）＜0成立，
即f（x）•sinx+f'（x）cosx＜0，
設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）cosx-f（x）（cosx）′}{cos^2x}$=$\frac{f′（x）cosx+f（x）sinx}{cos^2x}$＜0，
則函數(shù)g（x）在$（0\;，\;\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞減，
則g（$\frac{π}{3}$）＜g（$\frac{π}{6}$），
即$\frac{f（\frac{π}{3}）}{cos\frac{π}{3}}$＜$\frac{f（\frac{π}{6}）}{cos\frac{π}{6}}$，
即$\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）＜f（\frac{π}{6}）$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．