Question

已知線段，CD的中點為O，動點A滿足AC+AD=2a（a為正常數(shù)）．
（1）求動點A所在的曲線方程；
（2）若存在點A，使AC⊥AD，試求a的取值范圍；
（3）若a=2，動點B滿足BC+BD=4，且AO⊥OB，試求△AOB面積的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O(shè)為圓心，CD所在直線為x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用橢圓的定義判斷曲線類型，并求得曲線方程．
（2）由（Ⅰ）知，以O(shè)為圓心，為半徑的圓與橢圓有公共點，故，解出a的取值范圍．
（3）當(dāng)a=2時，求出OA和OB的長度，代入∴△AOB面積=，令1+k²=t（t＞1），，令，求得g（t）的范圍，即得S的最值．
解答：解：（1）以O(shè)為圓心，CD所在直線為x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，
若，即，動點A所在的曲線不存在；
若，即，動點A所在的曲線方程為；
若，即，動點A所在的曲線方程為．
（2）由（Ⅰ）知，要存在點A，使AC⊥AD，則以O(shè)為圓心，為半徑的圓與橢圓有公共點，
故，所以，a的取值范圍是．
（3）當(dāng)a=2時，其曲線方程為橢圓，由條件知A，B兩點均在橢圓上，且AO⊥OB．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率為k（k≠0），則OA的方程為y=kx，OB的方程為，
解方程組，得，，同理可求得，，
∴△AOB面積=，
令1+k²=t（t＞1），則 ，
令，所以，，即，
當(dāng)OA與坐標(biāo)軸重合時S=1，于是，△AOB面積的最大值和最小值分別為1與．
點評：本題考查橢圓的定義，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，求出△AOB的面積 是解題的難點．