Question

如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC=4，EA=3，F(xiàn)C=1．
（1）證明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)線面垂直得到線與線垂直，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到兩個三角形是等腰直角三角形，有線面垂直得到結(jié)果．
（2）做出輔助線，延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH．，做出∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．
解答：解：（1）證明：∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM?平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圓O的直徑，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，
∴FC⊥平面ABC．∴△EAM與△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理證得）．
∵M(jìn)F∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．
而BF?平面MBF，∴EM⊥BF．
（2）延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG?平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH?平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的
二面角的平面角．（8分）
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴．
由，得GC=2．∵．
又∵，∴，則．（12分）
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．∴平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為．
點評：本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．