Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx-

π

3

）（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求y=g（x）在區(qū)間[0，10π]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）直接把周期代入周期公式求ω值，則函數(shù)解析式可求，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）利用函數(shù)圖象的平移得到g（x）的解析式，由g（x）=0求得函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，則y=g（x）在區(qū)間[0，10π]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可求．

解答： 解：（Ⅰ）由周期為π，得ω=

2π

π

=2．
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）．
由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間得
-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，
解得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，
得到y(tǒng)=2sin2x+1的圖象，
∴g（x）=2sin2x+1．
令g（x）=0，得：x=kπ+

7π

12

或x=kπ+

11π

12

 (k∈Z)．
∴函數(shù)在每個(gè)周期上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
而[0，10π]恰為10個(gè)周期，
故g（x）在[0，10π]上有20個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)圖象的求法，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”的原則，考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，是中檔題．