Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a1=

5

3

，3an+1=an+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b_n=n（a_n-1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）求證：

1

3•a1

+

1

32•a2

+

1

33•a3

+…+

1

3n•an

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由3a_n+1=a_n+2，變形為an+1-1=

1

3

(an-1)，可得數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，利用其通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”即可得出；
（3）利用“放縮法”可得

1

3n•an

=

1

2+3n

＜

1

3n

，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可證明．

解答：解：（1）由3a_n+1=a_n+2，可得an+1-1=

1

3

(an-1)，又a1-1=

2

3

，
∴數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，
∴an-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

．
故an=

2

3n

+1=

2+3n

3n

=1+2•(

1

3

)n．
（2）由（1）知bn=n(an-1)=2n•(

1

3

)n
∴Sn=2•

1

3

+4•(

1

3

)2+6•(

1

3

)3+…+2n•(

1

3

)n①

1

3

Sn=2•(

1

3

)2+4•(

1

3

)3+…+2(n-1)•(

1

3

)n+2n•(

1

3

)n+1②
由①-②得：

2

3

Sn=2•

1

3

+2•(

1

3

)2+2•(

1

3

)3+…+2(n-1)•(

1

3

)n-2n•(

1

3

)n+1
=1-

2n+3

3

•(

1

3

)n
∴Sn=

3

2

-

2n+3

2

•(

1

3

)n．
（3）∵

1

3n•an

=

1

2+3n

＜

1

3n

，
∴

1

3•a1

+

1

32•a2

+

1

33•a3

+…+

1

3n•an

＜

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、“放縮法”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．