直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且四邊形為菱形時(shí)，求的長；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在上且不是的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形不可能為菱形.

 

【答案】

 利用橢圓的對(duì)稱性，結(jié)合圖形完成第(I)小題.設(shè)出直線方程，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，設(shè)而不求，結(jié)合菱形的特點(diǎn)進(jìn)行判斷.

【解析】 (I) 橢圓W：的右頂點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，所以和互相垂直平分.

所以可設(shè)，代入橢圓方程得，解得.

所以菱形OABC的面積為.

(II)假設(shè)四邊形OABC為菱形.

因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為y=kx+m,k≠0,m≠0..

由消去y并整理得.

設(shè),則，，

所以AC的中點(diǎn).

因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，所以直線OB的斜率為.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081412274979056190/SYS201308141228558439604242_DA.files/image016.png">，所以AC和OB不垂直.

所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾.

所以當(dāng)B不是W的頂點(diǎn)，四邊形OABC不可能是菱形.

【考點(diǎn)定位】本題考查了橢圓的性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系.通過整體代換，設(shè)而不求，考查了數(shù)據(jù)處理能力和整體思想的應(yīng)用.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-c，0）和F2（c，0）（c＞0），過點(diǎn)E(
a2
c
，0)的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求直線AB的斜率；
（3）設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線F2B上有一點(diǎn)H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圓上，求
n
m
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（2，0），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線l1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，過AB的中點(diǎn)N作直線l2與y軸交于點(diǎn)P，D為N在直線l上的射影，若|ND|、
1
2
|AB|、|MP|成等比數(shù)列，求直線l2的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）（c＞0），過點(diǎn)E（
a2
c
，0）的直線與橢圓相交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且F1∥F2B，|F1A|=2|F2B|
（Ⅰ）求橢圓的離心率
（Ⅱ）直線AB的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知焦距為4的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長為
10
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l：y=9x+m對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）若P為橢圓C在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x2+y2=5的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，求△MON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（13分）設(shè)直線與橢圓相交于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)。

（1）證明：；

（2）若是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且，求橢圓的方程。

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同步練習(xí)冊(cè)答案