Question

若函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù)，而y=

f(x)

x

在I上是減函數(shù)，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數(shù)”．已知f（x）=x²+（cotθ-1）x+b（θ、b是常數(shù)，b＞0）．
（1）若f（x）是偶函數(shù)，求θ、b應滿足的條件；
（2）當cotθ≥1時，f（x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”，求實數(shù)b的范圍．
（3）當cotθ≥1時，f（x）在（0，1]上不是“弱增函數(shù)”，求實數(shù)b的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用偶函數(shù)的定義，可得x²+（cotθ-1）x+b=x²-（cotθ-1）x+b對任意x∈R恒成立，由此可求θ、b應滿足的條件；
（2）確定f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，考察函數(shù)g(x)=

f(x)

x

=x+

b

x

+(cotθ-1)，g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，f（x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”，由此可得結(jié)論；
（3）結(jié)合（2），利用新定義，即可求實數(shù)b的范圍．

解答：解：（1）若f（x）是偶函數(shù)，則f（x）=f（-x），
即x²+（cotθ-1）x+b=x²-（cotθ-1）x+b對任意x∈R恒成立，
∴cotθ=1，b＞0，∴若f（x）是偶函數(shù)，則θ=kπ+

π

4

(k∈Z)，b＞0，
（2）當cotθ≥1時，f（x）=x²+（cotθ-1）x+b的對稱軸是x=-

cotθ-1

2

≤0
∴f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，
考察函數(shù)g(x)=

f(x)

x

=x+

b

x

+(cotθ-1)，
當

b

≥1，即b≥1時，設0＜x₁＜x₂≤1，則g(x1)-g(x2)=[x1+

b

x1

+(cotθ-1)]-[x2+

b

x2

+(cotθ-1)]=

(x1-x2)(x1x2-b)

x1x2

∵0＜x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1≤b，
∴g(x1)-g(x2)=

(x1-x2)(x1x2-b)

x1x2

＞0
即g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，f（x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”；
綜上所述，b≥1時，f（x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”；
（3）當0＜

b

＜1，即0＜b＜1時，g（b）=g（1）=1+b+（cotθ-1），
即g（x）在（0，1]上不是單調(diào)函數(shù)，
∴f（x）在（0，1]上不是“弱增函數(shù)”．
綜上所述0＜b＜1時，f（x）在（0，1]上不是“弱增函數(shù)”

點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，正確運用新定義是關鍵．