Question

已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足4S_n=(a_n+1)².

(1)求{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b_n=，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n,求T_n的最小值；

Answer 1

 (1)因?yàn)?a_n+1)²=4S_n,所以S_n=,S_n+1=.

所以S_n+1-S_n=a_n+1=

即4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n,

∴2(a_n+1+a_n)=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n).

因?yàn)閍_n+1+a_n≠0,所以a_n+1-a_n=2,即{a_n}為公差等于2的等差數(shù)列.由(a₁+1)²=4a₁,解得a₁=1,所以a_n=2n-1.

(2)由(1)知b_n==,

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n

=

∵T_n+1-T_n=

∴T_n+1>T_n.∴數(shù)列{T_n}為遞增數(shù)列，

∴T_n的最小值為T(mén)₁=.