Question

地球上最著名的幾何物體莫過于埃及的吉沙（Giza）大金字塔，它的形狀是正四棱錐．有著奇妙神秘的走道設(shè)計，以及神秘的密室．已知它的高度的2倍的平方等于它的側(cè)面積．則側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為

 

．（精確到0.001）

Answer 1

分析：設(shè)出大金字塔的底面棱長為2a，高為h，根據(jù)正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征表達(dá)出側(cè)面積與高的關(guān)系，即可得到

h2

a2

=

1+ 5

2

，再利用a與h表示出側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值，進而即可得到答案．

解答：解：設(shè)大金字塔的底面棱長為2a，高為h，如圖所示
取BC的中點為H，O為正方形的中心，連接SO，OH，SH，
在正四棱錐中，SH⊥BC，OH⊥BC，所以∠SHO是側(cè)面與底面所成的二面角．
則由題意可得其側(cè)高SH=

a2+h2

，
因為它的高度的2倍的平方等于它的側(cè)面積，即4×

1

2

×2a×

a2+h2

=4h²，
所以整理可得h⁴-a²h²-a⁴=0，即

h2

a2

=

1+ 5

2

．
所以在△SOH中，cos∠SHO=

OH

SH

=

a

a2+h2

=

1

1+ h2 a2

≈0.618．
故答案為0.618．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)其特征得到線段的關(guān)系并且表示出二面角的余弦，結(jié)合正確的運算進而解決問題．