Question

2．已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸，且拋物線上點P（2，m）到焦點的距離為3，斜率為2的直線L與拋物線相交于A，B兩點且|AB|=3$\sqrt{5}$，求拋物線和直線L的方程．

Answer 1

分析 由已知條件設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），且$\frac{p}{2}$+2=3，由此能求出拋物線C的方程；設(shè)直線l的方程為y=2x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線與拋物線聯(lián)立，可得4x²+（4b-4）x+b²=0，由此利用弦長公式能求出直線l的方程．

解答 解：∵拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，
拋物線C上的點M（2，m）到焦點F的距離為3，
∴設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
M到準(zhǔn)線的距離為3，即$\frac{p}{2}$+2=3，解得p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x．
設(shè)直線l的方程為y=2x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線與拋物線聯(lián)立，可得4x²+（4b-4）x+b²=0，
∴x₁+x₂=1-b，x₁x₂=$\frac{^{2}}{4}$，
∴|AB|=$\sqrt{5}•\sqrt{（1-b）^{2}-^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴b=-2，
∴直線L的方程是y=2x-2．

點評 本題考查拋物線方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．