Question

如圖，過曲線C：y=e^x上一點P₀(0，1)作曲線C的切線l2交x軸于點Q₁(x₁，0)，又x軸的垂線交曲線C于點P₁(x₁，y₁)，然后再過P₁(x₁，y₁)作曲線C的切線l₁交x軸于點Q₂(x₂，0)，又過Q₂作x軸的垂線交曲線C于點P₂ (x₂，y₂)，……，以此類推，過點P_n的切線l_n與x軸相交于點Q_n+1(x_n+1，0)，再過點Q_n+1作x軸的垂線交曲線C于點P_n+1(x_n+1，y_n+1)(n∈N*)，
(1)求x₁、x₂及數(shù)列{x_n}的通項公式；
(2)設(shè)曲線C與切線l_n及直線PQ所圍成的圖形面積為S_n，求S_n的表達式；
(3)在滿足(2)的條件下，若數(shù)列{S_n}的前n項和為T_n，求證：。

Answer 1

(1)解：由y′=e^x，設(shè)直線l_n的斜率為k_n，則，
∴直線l_n的方程為y=x+1，
令y=0，得x₁=-1，，
∴，∴，
∴直線l₁的方程為，
令y=0，得x₂=-2，
一般地，直線l_n的方程為，
由于點在直線l_n上，∴，
∴數(shù)列{x_n}是首項為-1，公差為-1的等差數(shù)列，
∴。
(2)解：；
(3)證明：，
∴，，
要證明，
只要證明，
即只要證明，，

，
∴不等式對一切n∈N*都成立．