Question

（2012•孝感模擬）孝感雕花剪紙有著悠久的歷史，既有北方粗獷蒼勁的風格，又有南方玲瓏細膩的特點．下圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們剪紙的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多剪紙越漂亮．現按同樣的規(guī)律剪紙（小正方形的擺放規(guī)律相同），設第n個圖形包含f（n）個小正方形．則f（n）的表達式為

2n²-2n+1

．

Answer 1

分析：根據前4個圖形進行歸納，得第n個圖形中有2n-1層，從第1層到第n層依次為1、3、5、…、2n-1個，并且關于第n層成軸對稱圖形，由此結合等差數列求和公式，不難得到命題的答案．

解答：解：圖（1）中只有一個小正方形，得f（1）=1；
圖（2）中有3層，以第3層為對稱軸，有1+3+1=5個小正方形，得f（2）=5；
圖（3）中有5層，以第3層為對稱軸，有1+3+5+3+1=13個小正方形，得f（3）=13；
圖（4）中有7層，以第4層為對稱軸，有1+3+5+7+5+3+1=25個小正方形，得f（4）=25；
…
以次類推，第n個圖形中有2n-1層，以第n層為對稱軸，有1+3+5+…+（2n-1）++…+5+3+1
=2[1+3+5+…+（2n-1）]-（2n-1）=2×

n(1+2n-1)

2

-（2n-1）=2n²-2n+1個小正方形，得f（n）=2n²-2n+1．
故答案為：2n²-2n+1

點評：本題給出成一定規(guī)律排列的圖形，叫我們找出第n個圖形中小正方形的個數，著重考查了等差數列的通項與求和，及簡單歸納推理等知識，屬于基礎題．