Question

如右圖所示，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁，各棱長都等于a，D、F分別為AC₁和BB₁的中點．

　　(1)求證：DF為異面直線AC₁和BB₁的公垂線段，并求其長度；

　　(2)求點C₁到平面AFC的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖所示，在平面ACC1A1內，過D作EG∥AC分別交AA1、CC1于E、G，則面EFG∥面A1B1C1∥面ABC．     ∴△EFG為正三角形，且D為EG的中點．     ∴DF⊥EG，平面EFG⊥平面ACC1A1．     ∴DF⊥平面ACC1A1．     ∴DF⊥AC1，DF⊥CC1，從而DF⊥BB1．     故DF為AC1與BB1的公垂線．     ∵正三角形EFG的邊長為a，∴DF=     (2)設點C1到平面ACF的距離為h．     容易求得．     ∵．∴