Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：x²=4y，直線l：y=-1．PA、PB為C的兩切線，切點(diǎn)為A，B．
（Ⅰ）求證：“若P在l上，則PA⊥PB”是真命題；
（Ⅱ）寫出（Ⅰ）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線方程設(shè)出A，B的坐標(biāo)，把A，B點(diǎn)代入拋物線方程，對函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而分別表示出直線PA，PB的斜率，利用點(diǎn)斜式表示出兩直線的方程，聯(lián)立求得交點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入直線l的方程，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)PA⊥PB推斷出

x1x2

4

=-1，進(jìn)而P在l上，由此可得答案．

解答：（Ⅰ）證明：由x²=4y得y=

1

4

x2，對其求導(dǎo)得y′=

1

2

x．┅┅┅┅┅┅┅（2分）
設(shè)A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，則直線PA，PB的斜率分別為kPA=

1

2

x1，kPB=

1

2

x2．
由點(diǎn)斜式得PA：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，∴y=

1

2

x1x-

x 2 1

4

．①┅┅┅┅┅（4分）
PB：y-

x 2 2

4

=

1

2

x2(x-x2)，∴y=

1

2

x2x-

x 2 2

4

．②，┅┅┅┅┅┅（5分）
由①②可得點(diǎn)P(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，
因?yàn)镻在l上，所以

x1x2

4

=-1，┅┅┅┅（7分）
所以kPA•kPB=

1

2

x1•

1

2

x2=

x1x2

4

=-1，所以PA⊥PB．┅┅┅┅┅┅（8分）
（Ⅱ）解：（Ⅰ）中命題的逆命題為：若PA⊥PB，則P在直線l上．為真命題．┅┅（10分）
事實(shí)上，由原命題可知，設(shè)A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，
且PA：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，∴y=

1

2

x1x-

x 2 1

4

．①
PB：y-

x 2 2

4

=

1

2

x2(x-x2)，∴y=

1

2

x2x-

x 2 2

4

．②，
由①②可得點(diǎn)P(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，┅┅┅┅┅┅┅（12分）
又PA⊥PB，所以kPA•kPB=

1

2

x1•

1

2

x2=

x1x2

4

=-1，
即y_p=-1，從而點(diǎn)P在l上．┅┅┅┅┅（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，考查命題及逆命題真假的判斷，考查了學(xué)生推理能力和基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．