16.如圖,相距14km的兩個(gè)居民小區(qū)M和N位于河岸l(直線)的同側(cè),M和N距離河岸分別為10km和8km.現(xiàn)要在河的小區(qū)一側(cè)選一地點(diǎn)P,在P處建一個(gè)生活污水處理站,從P排直線水管PM,PN分別到兩個(gè)小區(qū)和垂直于河岸的水管PQ,使小區(qū)污水經(jīng)處理后排入河道.設(shè)PQ段長(zhǎng)為t km(0<t<8).
(1)求污水處理站P到兩小區(qū)的水管的總長(zhǎng)最小值(用t表示);
(2)請(qǐng)確定污水處理站P的位置,使所排三段水管的總長(zhǎng)最小,并求出此時(shí)污水處理站分別到兩小區(qū)水管的長(zhǎng)度.

分析 (1)如圖,以河岸l所在直線為x軸,以過(guò)M垂直于l的直線為y軸建立坐標(biāo)系,設(shè)P(s,t),過(guò)P作平行于x軸的直線m,作N關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)N′,則N′(8$\sqrt{3}$,2t-8),PM+PN=PM+PN′≥MN′,可得結(jié)論;
(2)由(1)知L=PM+PN+PQ≥t+2$\sqrt{{t}^{2}-18t+129}$(0<t<8),(L-t)2=4(t2-18t+129)在t∈(0,8)上有解,即3t2+(2L-72)t+(516-L2)=0在t∈(0,8)上有解,從而可得處理站P的位置,使所排三段水管的總長(zhǎng)最小,并求出此時(shí)污水處理站分別到兩小區(qū)水管的長(zhǎng)度.

解答 解:(1)如圖,以河岸l所在直線為x軸,以過(guò)M垂直于l的直線為y軸建立坐標(biāo)系,則可得M(0,10),N(8$\sqrt{3}$,8),
設(shè)P(s,t),過(guò)P作平行于x軸的直線m,作N關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)N′,則N′(8$\sqrt{3}$,2t-8),
∴PM+PN=PM+PN′≥MN′=2$\sqrt{{t}^{2}-18t+129}$(0<t<8);
(2)設(shè)三段水管的總長(zhǎng)為L(zhǎng),則由(1)知L=PM+PN+PQ≥t+2$\sqrt{{t}^{2}-18t+129}$(0<t<8);
∴(L-t)2=4(t2-18t+129)在t∈(0,8)上有解,
即3t2+(2L-72)t+(516-L2)=0在t∈(0,8)上有解,
△=(2L-72)2-12(516-L2)≥0,即L2-18L-63≥0
∴L≥21或L≤-3,
∴L的最小值為21,此時(shí)對(duì)應(yīng)的t=5∈(0,8),
故N′(8$\sqrt{3}$,2),MN′的方程為y=10-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x,
令y=5得x=5$\sqrt{3}$,即P(5$\sqrt{3}$,5),
∴PM=$\sqrt{(5\sqrt{3})^{2}+(5-10)^{2}}$=10,PN=$\sqrt{(5\sqrt{3}-8\sqrt{3})^{2}+(5-8)^{2}}$=6,
∴滿足題意的P點(diǎn)距河岸5km,距小區(qū)M到河岸的垂線5$\sqrt{3}$km,此時(shí)污水處理站到小區(qū)M,N的水管長(zhǎng)度分別為10km和6km.

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,考查學(xué)生解不等式的能力,正確建立關(guān)系式是關(guān)鍵.

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