Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=pⁿ+q（p≠0，q≠1），則“q=-1”是“數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列”的（　�。�

A．充要條件

B．必要不充分條件

C．充分不必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：先求出a₁的值，再由n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1進而可判定n≥2時，{a_n}是等比數(shù)列，最后再驗證當n=1時q=-1時可滿足，{a_n}是等比數(shù)列，從而{a_n}是等比數(shù)列的必要條件是p≠0且p≠1且q=-1；反之，q=-1時，當p=0或p=-1時，{a_n}不是等比數(shù)列；利用充要條件的定義得到結(jié)論．

解答：解：當n=1時，a₁=S₁=p+q；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1．
當p≠0，p≠1，
∴當n≥2時，{a_n}是等比數(shù)列．要使{a_n}（n∈N^*）是等比數(shù)列，
則

a2

a1

=p，即（p-1）•p=p（p+q），
∴q=-1，
即{a_n}是等比數(shù)列的必要條件是p≠0且p≠1且q=-1．
反之，q=-1時，S_n=pⁿ-1，
a_n=（p-1）•p^n-1，
因為p=1時，{a_n}不是等比數(shù)列
所以“q=-1”是“數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列”的必要不充分條件．
故選B．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的充要條件，考查基礎(chǔ)知識的綜合運用．屬于中檔題．