已知四棱錐P—ABCD的側(cè)棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，且AB=AP=a.

   （I）若E、F分別是PA、BC的中點，證明EF//平面PCD；

   （II）若G為AB中點，求證：二面角G—PC—D的大小為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 證明：（I）取PD中點M，連接EM，MC則EM//AD，   …………2分

    EM=0.5AD=0.5BC=FC，

    ∴四邊形EFCM是平行四邊形，即EF//CM.

    又平面PCD，

    EF平面PCD，因此EF//平面PCD. …………6分

   （II）由（I）知交于A點的三條棱互相垂直，

    如圖建立坐標系，則A（0，0，0），B（a，0，0），

C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a），

   …………8分

設(shè)平面的法向量為，       …………10分

設(shè)平面PCG的法向理為

則且

得一組解

∴設(shè)平面PCD的一個法向量為

則

得一組解

∴平面PCG的一個法向量為

，

即平面PCD⊥平面PCG，

故二面角G—PC—D的大小為       …………12分

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點，AE與BD交于O點，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山東省濟寧一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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