已知數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=(1+
a
1
n
n
)n+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：
1
a1
+
3
a2
+
5
a3
+…+
2n-1
an
＜1(n∈N*)．
分析：（1）利用數(shù)列遞推式，可得{an
1
n
}組成以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，由此可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）利用放縮法進(jìn)行證明，證明
1
(n+1)n
＜
1
n2
即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：∵an+1=(1+
a
1
n
n
)n+1(n∈N*)，
∴an+1
1
n+1
=1+an
1
n

∴an+1
1
n+1
-an
1
n
=1
∵a1=2
∴{an
1
n
}組成以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
∴an
1
n
=n+1，
∴an=（n+1）n；
（2）證明：當(dāng)n=1時，
1
a1
=
1
2
＜1，成立；當(dāng)n=2時，
1
a1
+
3
a2
=
1
2
+
1
3
＜1，成立；
當(dāng)n＞2時，（n+1）n＞（n+1）2＞n2，∴
1
(n+1)n
＜
1
n2

∴
1
a1
+
3
a2
+
5
a3
+…+
2n-1
an
＜
1+3+…+(2n-1)
n2
=1．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案