Question

已知f（x）=x³+bx²+cx+2．
（Ⅰ）若f（x）在x=1時(shí)有極值-1，求b、c的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=x²+x-5的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）記函數(shù)|f'（x）|（-1≤x≤1）的最大值為M，求證：M≥．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）在x=1時(shí)，有極值-1，可得，解得b=1，c=-5，要注意驗(yàn)證．
（Ⅱ）將圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程：恰有三個(gè)不同的解，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為x³+x²-5x+2=k（x≠0），f（x）的圖象與直線y=k恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求出函數(shù)的極值可解；
（Ⅲ）|f′（x）|=|3（x+）²+c|，由二次函數(shù)最值求法去討論求解．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2bx+c，由題知f′（1）=0⇒3+2b+c=0，f′（1）=-1⇒1+b+c+2=-1
∴b=1，c=-5（2分）f（x）=x³+x²-5x+2，f′（x）=3x²+2x-5f（x）在為減函數(shù)，f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)∴b=1，c=-5符合題意．（3分）
（Ⅱ）即方程：恰有三個(gè)不同的解：x³+x²-5x+2=k（x≠0）
即當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）的圖象與直線y=k恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
由（1）知f（x）在為增函數(shù)，f（x）在為減函數(shù)，f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，
又，f（1）=-1，f（0）=2
∴且k≠2（8分）
（Ⅲ）
①當(dāng)即|b|≥3時(shí)，M為|f′（1）|與|f′（-1）|中較大的一個(gè)
2M≥|3+2b+c|+|3-2b+c|≥|3+2b+c-（3-2b+c）|=|4b|≥12
∴
②當(dāng)即-3≤b≤3時(shí)，M為中較大的一個(gè)==≥6
∴
綜合①②可知（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，即圖象的交點(diǎn)與方程解之間的聯(lián)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力．