Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和s_n滿足s₁＞1，且6s_n=（a_n+1）（a_n+2）（n為正整數(shù)）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足，求T_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）設，問是否存在正整數(shù)N，使得n＞N時恒有C_n＞2008成立？若存在，請求出所有N的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）n=1時，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．n≥2時，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0由此能求出a_n．
（2），T_n=b₁+b₂+…+b_n．再進行分類討論能求出T_n．
（3），由此能夠導出，因此不存在滿足條件的正整數(shù)N．
解答：解：（1）n=1時，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．…..（2分）
n≥2時，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，
兩式相減得：6a_n=a_n²-a_n-1²+3a_n-3a_n-1
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}為等差數(shù)列，a_n=3n-1．…．（6分）
（2），T_n=b₁+b₂+…+b_n．…..（7分）
當n為偶數(shù)時，
T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=，…．（9分）
當n為奇數(shù)時，T_n=（b₁+b₃+…+b_n）+（b₂+b₄+…+b_n-1）
=．…（11分）∴…..（12分）
（3），…..（14分）
當n為奇數(shù)時，，…（15分）
∴C_n+2＜C_n，
∴{C_n}遞減，…..（16分）
，…..（17分）
因此不存在滿足條件的正整數(shù)N．…..（18分）
點評：本題考查數(shù)列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．