Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=4處的切線相互平行，求a的值；
（2）試討論f=f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)g（x）=x²-2x，對任意的x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=1和x=4處的切線相互平行，即可求a的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得y=f（x）的單調(diào)性；
（3）已知，在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max，分類討論，求最值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx，
∴f′（x）=ax-（2a+1）x+

2

x

（x＞0），
依題意，f′（1）=f′（4），即a-（2a+1）+2=4a-（2a+1）+

1

2

，解得a=

1

2

；
（2）f′（x）=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．
①a≤0時，x＞0，ax-1＜0，在（0，2）上，f′（x）＞0；在（2，+∞）上，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）；
②0＜a＜

1

2

時，

1

a

＞2，在（0，2），（

1

a

，+∞）上，f′（x）＞0；在（2，

1

a

）上，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），（

1

a

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，

1

a

）；
③a=

1

2

時，f′（x）=

(x-2)2

2x

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
④a＞

1

2

時，0＜

1

a

＜2，在（0，

1

a

），（2，+∞）上，f′（x）＞0；在（

1

a

，2）上，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

1

a

），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（

1

a

，2）；
（3）由已知，在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max，g（x）_max=0，
由（2）知，①a≤

1

2

時，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，故f（x）_max=f（2）=-2a-2+2ln2，
∴-2a-2+2ln2＜0，可得a＞ln2-1，∴l(xiāng)n2-1＜a≤

1

2

；
②a＞

1

2

時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

1

a

），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（

1

a

，2），
故f（x）_max=f（

1

a

）=-2-

1

2a

-2lna，
由a＞

1

2

可知lna＞ln

1

2

＞ln

1

e

=-1，2lna＞-2，∴-2=2lna＜0，
∴f（x）_max＜0，
綜上所述，a＞ln2-1．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值及恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．