Question

已知分別以d₁和d₂為公差的等差數(shù)列和滿足a₁=18，b₁₄=36．
（1）若d₁=18，且存在正整數(shù)m，使得a_m²=b_m+14-45，求證：d₂＞108；
（2）若a_k=b_k=0，且數(shù)列a₁，a₂，…，a_k，b_k+1，b_k+2，…，b₁₄的前n項和S_n滿足S₁₄=2S_k，求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式分別表示出a_m和b_m+14，代入a_m²=b_m+14-45，求得d2=182m+

9

m

，根據(jù)均值不等式求得d₂的范圍，原式得證．
（2）根據(jù)S₁₄=2S_k得：S_k=S₁₄-S_k，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，進而求得d₁和d₂，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式進而求得a_n和b_n的通項公式．

解答：解：（1）依題意，[18+（m-1）×18]²=36+（m+14-14）d₂-45，
即（18m）²=md₂-9，即d2=182m+

9

m

≥2

182×9

=108；
等號成立的條件為182m=

9

m

，即m=

1

6

，∵m∈N^*，
∴等號不成立，∴原命題成立．
（2）由S₁₄=2S_k得：S_k=S₁₄-S_k，
即：

18+0

2

×k=

36+0

2

×(14-k+1)，
則9k=18×（15-k），得k=10
d1=

0-18

9

=-2，d2=

36-0

14-10

=9，
則a_n=-2n+20，b_n=9n-90．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．