已知函數(shù)f（x）=數(shù)學公式-alnx（a∈R）．
（1）若f（x）在x=2時取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解：（1，∵x=2是一個極值點，
∴，∴a=4．
此時=．
∵f（x）的定義域是{x|x＞0}，
∴當0＜x＜2時，f′（x）＜0；當x＞2時，f′（x）＞0．
∴當a=4時，x=2是f（x）的極小值點，∴a=4．（6分）
（2）∵，∴當a≤0時，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
當a＞0時，=，
令f′（x）＞0有，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，+∞）；
令f′（x）＜0有，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為．（12分）
分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)f′（x），根據(jù)x=2是f′（x）一個極值點，利用f′（2）=0，可得a=4，再檢驗當a=4時，x=2是f（x）的極小值點符合題意；
（2）討論導數(shù)的零點，可得當a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)數(shù)在某點取得極值的條件，屬于中檔題．做題時注意分類討論思想的運用，以及取極值時的檢驗．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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