Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，b₁=1，且

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

（n≥2）
（I）令c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式S_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意可求得c_n=c_n-1+2，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定義可推斷出{c_n}是首項(xiàng)為a₁+b₁=3，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而求得其通項(xiàng)公式．
（II）令d_n=a_n-b_n，則可知dn=

1

2

dn-1(n≥2)進(jìn)而推斷出{d_n}是首項(xiàng)為a₁-b₁=1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，則其通項(xiàng)公式可求，進(jìn)而根據(jù)a_n-b_n和a_n+b_n的表達(dá)式，聯(lián)立方程求得a_n，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式求得答案．

解答：解：（I）由題設(shè)得a_n+b_n=（a_n-1+b_n-1）+2（n≥2），即c_n=c_n-1+2（n≥2）
易知{c_n}是首項(xiàng)為a₁+b₁=3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為c_n=2n+1
（II）解：由題設(shè)得an-bn=

1

2

(an-1-bn-1)(n≥2)，令d_n=a_n-b_n，則dn=

1

2

dn-1(n≥2)、
易知{d_n}是首項(xiàng)為a₁-b₁=1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為dn=

1

2n-1

由

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

解得an=

1

2n

+n+

1

2

，
求和得Sn=-

1

2n

+

n2

2

+n+1

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力．