已知拋物線C的方程為x2=4y,直線y=2與拋物線C相交于M,N兩點,點A,B在拋物線C上.
(Ⅰ)若∠BMN=∠AMN,求證:直線AB的斜率為
2
;
(Ⅱ)若直線AB的斜率為
2
,求證點N到直線MA,MB的距離相等.
(Ⅰ)設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AM的斜率為k,∵∠BMN=∠AMN,所以直線BM的斜率為-k,
可求得M(-2
2
,2),N(2
2
,2)
,則直線AM的方程為y=k(x+2
2
)-2
,
代入x2=4y得x2-4kx-8
2
k-8=0,∵xAx1=-8
2
k-8∴x1=4k+2
2
,
同理x2=-4k+2
2
,kAB=
y1-y2
x1-x2
=
x21
4
-
x22
4
x1-x2
=
x1+x2
4
=
2
.(5分)
(Ⅱ)若直線AB的斜率為
2
,由(1)可得:x1=4kAM+2
2
,x2=4kBM+2
2
,
∴kAB=
y1-y2
x1-x2
=
x21
4
-
x22
4
x1-x2
=
x1+x2
4
=
4(kAM+kBM)+4
2
4
=
2

∴kAM+kBM=0,
∴∠BMN=∠AMN,
故點N到直線MA,MB的距離相等.(10分)
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C的頂點在坐標原點,焦點在x軸上,拋物線C上的點M(2,m)到焦點F的距離為3.
(Ⅰ)求拋物線C的方程:
(Ⅱ)過點(2,0)的直線l與拋物線C交于A、B兩點,若|AB|=4
6
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知點P(x0,y0)是橢圓C:
x2
5
+y2=1
上的一點.F1、F2是橢圓C的左右焦點.
(1)若∠F1PF2是鈍角,求點P橫坐標x0的取值范圍;
(2)求代數(shù)式
y20
+2x0
的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知△ABC中,B(-2,0),C(2,0),△ABC的周長為12,動點A的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)設P、Q為E上兩點,
OP
OQ
=0
,過原點O作直線PQ的垂線,垂足為M,證明|OM|為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

設F1、F2為橢圓
x2
9
+
y2
4
=1
的兩個焦點,P為橢圓上一點,已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點,且|PF1|>|PF2|,則
|PF1|
|PF2|
的值為______.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,DA⊥AB,AD=3,AB=4,BC=
3
,點E在線段AB的延長線上.若曲線段DE(含兩端點)為某曲線L上的一部分,且曲線L上任一點到A、B兩點的距離之和都相等.
(1)建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼,求曲線L的方程;
(2)根據(jù)曲線L的方程寫出曲線段DE(含兩端點)的方程;
(3)若點M為曲線段DE(含兩端點)上的任一點,試求|MC|+|MA|的最小值,并求出取得最小值時點M的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知直線l:y=2x-4交拋物線y2=4x于A、B兩點,試在拋物線AOB這段曲線上求一點P,使△ABP的面積最大,并求這個最大面積.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知雙曲線
x2
m
-
y2
n
=1
(mn≠0)的離心率為2,有一個焦點恰好是拋物線y2=4x的焦點,則此雙曲線的漸近線方程是( 。
A.
3
x±y=0
B.
3
y=0
C.3x±y=0D.x±3y=0

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓E:
x2
4
+y2=1的左、右頂點分別為A、B,圓x2+y2=4上有一動點P,P在x軸上方,C(1,0),直線PA交橢圓E于點D,連結DC,PB.
(Ⅰ)若∠ADC=90°,求△ADC的面積S;
(Ⅱ)設直線PB,DC的斜率存在且分別為k1,k2,若k1=2k2,求λ的取值范圍.

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