Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B與拋物線x²=4y的焦點重合，離心率．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l與橢圓交于M、N兩點，且橢圓C的右焦點F恰為△BMN的垂心（三條高所在直線的交點），若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為橢圓的一個頂點B與拋物線x²=4y的焦點重合，所以b=1，又因為離心率為，所以，再根據(jù)
橢圓中a²=b²+c²，就可求出a，b，的值，得到橢圓方程．
（Ⅱ）先假設(shè)存在直線l與橢圓交于M、N兩點，且橢圓C的右焦點F恰為△BMN的垂心．設(shè)出M，N坐標，由（1）中所求橢圓方程，可得F，B點坐標，利用若F為△BMN的垂心，則MF⊥BN，就可得到含x₁，x₂，y₁，y₂的等式，再設(shè)MN方程為y=x+t，
代入橢圓方程，求x₁+_x2，x₁x₂，y₁+y₂，y₁y₂，均用含t的式子表示，再代入上面所求等式中，求t，若能求出，則存在直線l與橢圓交于M、N兩點，且橢圓C的右焦點F恰為△BMN的垂心，若求不出，則不存在直線l與橢圓交于M、N兩點，且橢圓C的右焦點F恰為△BMN的垂心．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，
∵拋物線x²=4y的焦點坐標為（0，1）∴b=1
由已知得，∴，
解得
∴橢圓方程為
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（1，0），B（0，1），，∴k_BF=-1
∵F是垂心，∴K_MN=1
∴設(shè)MN的方程為y=x+t，
代入橢圓方程后整理得：3x²+4tx+2t²-2=0
∴
將x=y-t代入橢圓方程后整理得：3y²-2ty+t²-2=0
∴
∵F是垂心，∴MF⊥BN，
∴（1-x₁）x₂-y₁（y₂-1）=0，
整理得：x₁+x₂-x₁x₂-y₁y₂+t=0
∴∴3t²+t-4=0
∴或t=1（舍）
∴存在直線 l，其方程為使題設(shè)成立．
點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問題的做法，為圓錐曲線的常規(guī)題，應(yīng)當(dāng)掌握．