Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，E，F(xiàn)，G分別為AC，AA₁，AB的中點(diǎn)，（1）求證：B₁C₁∥平面EFG（2）求三棱錐B₁-EFG的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證B₁C₁∥平面EFG，只要在平面EFG內(nèi)找出一直線與B₁C₁平行，由E，F(xiàn)為△AB，AC中點(diǎn)，可得GE∥BC．而B(niǎo)₁C₁∥BC，可得B₁C₁∥GE，從而可證
（2））由（1）知可得C₁與B₁到平面EFG的距離相等，則，容易證明B₁C₁⊥平面C₁CA₁，而B(niǎo)₁C∥GE，可得GE⊥平面C₁EF，即GE為G到平面EFC₁的距離，代入錐體的體積公式可求
解答：解：（1）E，F(xiàn)為△AB，AC中點(diǎn)，∴GE∥BC．
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁∥GE，
∵GE?平面GEF，B₁C₁∉平面GEF，
∴B₁C₁∥平面EFG  
（2）∵B₁C₁∥平面EFG，∴C₁與B₁到平面EFG的距離相等．  
∴
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥C₁C₁，A₁C₁∩C₁C=C₁
∴B₁C₁⊥平面C₁CA₁
∵B₁C∥GE∴GE⊥平面C₁EF
∵，
∴
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用及錐體的體積的計(jì)算，而本題（2）中所采用的換頂點(diǎn)求解三棱錐的體積及求解距離是非常重要的方法，要注意掌握．