Question

已知函數(shù)f（x）=

(a+1)x2+1

bx

，且f（1）=3，f （2）=

9

2

．
（1）求a，b的值，寫出f（x）的表達(dá)式；
（2）判斷f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的增減性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）解：由f（1）=3，f （2）=

9

2

．建立關(guān)于a，b的方程組求解．
（2）在給定的區(qū)間任取兩個(gè)變量，再作差變形與零比較即可，要注意變形要到位，用上兩個(gè)變量的大小關(guān)系．

解答：解：（1）由

f(1)=3 f(2)= 9 2

?

(a+1)+1 b =3 4(a+1)+1 2b = 9 2

（3分）
?

a=1 b=1

（6分）
則f（x）=

2x2+1

x

（2）證明：任設(shè)l≤x₁＜x₂（7分）
f（x）-f（x₂）=

2x2+1

x1

-

2 x 2 2 +1

x2

=（x₁-x₂）•

2x1x2-1

x1•x2

（9分）
∵x₁＜x₂∴x₁＜x₂＜0（10分）
又∵x₁≥1，x₂≥1
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂≥1，2x₁x₂≥2≥1，即，2x₁x₂-1＞0（11分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即，f（x₁）＜f（x₂）•
故f（x）=

2x2+1

x

在[1，+∞）上單調(diào)增函數(shù)（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)值求參數(shù)的值和函數(shù)單調(diào)定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題．是�？碱愋�，屬中檔題．