Question

如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且AF=

1

2

AD=a，G是EF的中點(diǎn)，則GB與平面AGC所成角的正弦值為（　　）

• A、

  6

  6

• B、

  3

  3

• C、

  6

  3

• D、

  2

  3

Answer 1

分析：由面面垂直的性質(zhì)證明CB⊥AG，用勾股定理證明AG⊥BG，得到AG⊥平面CBG，從而面AGC⊥面BGC，在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC，故∠BGH是GB與平面AGC所成的角，解Rt△CBG，可得GB與平面AGC所成角的正弦值．

解答：解：∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB，
∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．
∵AG，GB?面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，
又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中點(diǎn)，
∴AG=BG=

2

a，AB=2a，∴AB²=AG²+BG²，∴AG⊥BG，
∵BG∩BC=B，∴AG⊥平面CBG，而AG?面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．
在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角．
在Rt△CBG中，BH=

BC•BG

CG

=

2 3 a

3

，
∵BG=

2

a，∴sin∠BGH=

BH

BG

=

6

3

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的判定方法，以及線面成的角的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．