Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x定義域?yàn)閇-2，t]（t＞-2），設(shè)f（-2）=m，f（t）=n．
（Ⅰ）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（Ⅱ）求證：n＞m；
（Ⅲ）求證：對于任意的t＞-2，總存x∈（-2，t），滿足，并確定這樣的x的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定t的取值范圍，
（Ⅱ）運(yùn)用函數(shù)的極小值進(jìn)行證明，
（Ⅲ）首先對關(guān)系式進(jìn)行化簡，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判定．
解答：（Ⅰ）解：因?yàn)閒′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
∵函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，
∴-2＜t≤0，
（Ⅱ）證：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（-∞，0）∪（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值e，
又f（-2）=13e^-2＜e，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（-2），
從而當(dāng)t＞-2時(shí)，f（-2）＜f（t），
即m＜n，
（Ⅲ）證：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231432347973275/SYS201311012314323479732021_DA/0.png">，
∴，
即為x²-x=，
令g（x）=x²-x-，
從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）==0在（-2，t）上有解并討論解的個數(shù)，
因?yàn)間（-2）=6-（t-1）²=-，
g（t）=t（t-1）-=，
所以當(dāng)t＞4或-2＜t＜1時(shí)，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解，
當(dāng)t=1時(shí)，g（x）=x²-x=0，
解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
當(dāng)t=4時(shí)，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
綜上所述，對于任意的t＞-2，總存在x∈（-2，t），滿足，
且當(dāng)t≥4或-2＜t≤1時(shí)，有唯一的x適合題意，
當(dāng)1＜t＜4時(shí)，有兩個x適合題意．
點(diǎn)評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運(yùn)算能力．