設(shè)函數(shù)
(I)求的值;
(II)若關(guān)于x的方程在x∈[0,1)上有實數(shù)解,求實數(shù)t的取值范圍.
(III)設(shè)函數(shù)g(x)是函數(shù)f(x)的反函數(shù),求證:當(dāng)
【答案】分析:(I)利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡f(m)+f(n)的結(jié)果等于,從而得到的值.
(II)把條件等價轉(zhuǎn)化為t=(x+1)(2x2-5x+5)在x∈[0,1)上有實數(shù)解,利用導(dǎo)數(shù)判斷t在x∈[0,1)上是減函數(shù),得t(1)<t≤t(0),由此解得實數(shù)t的取值范圍.
(III)先求出函數(shù)g(x),設(shè) G(x)=g(x)-,(x>0),利用導(dǎo)數(shù)判斷G(x) 在[0,+∞)上單調(diào)遞減,得到g(x)<,由此放縮要證得不等式成立.
解答:解:(I)∵函數(shù),∴=+- 
=-=-=-=-=0.
(II)∵關(guān)于x的方程在x∈[0,1)上有實數(shù)解,
=,
= 在x∈[0,1)上有實數(shù)解,∴t=(x+1)(2x2-5x+5)在x∈[0,1)上有實數(shù)解.
∵t′=6x(x-1),x∈[0,1)時,t′<0,t=(x+1)(2x2-5x+5)在x∈[0,1)上是減函數(shù),
∴t(1)<t≤t(0),解得 4<t≤5.
∴實數(shù)t的取值范圍為(4,5].
(III)函數(shù)g(x)是函數(shù)f(x)的反函數(shù),f(x)的定義域為(-1,1),求得g(x)=f-1(x)= (x∈R).
設(shè) G(x)=g(x)-,(x>0),則  G′(x)=g′(x)-=≤0.
∵a>1,∴G(x) 在[0,+∞)上單調(diào)遞減,當(dāng)x>0時,G(x)<G(0),即 g(x)<
∴a>1時, ()==

,(n∈N*)成立.
點評:本題主要考查對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用,求反函數(shù),以及用放縮法證明不等式,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)

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(I)求的最小正周期以及單調(diào)增區(qū)間;

(II)當(dāng)時,求的值域;

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