Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=5，a_n=qa_n-1+d（n≥2）
（1）數(shù)列{a_n}有可能是等差數(shù)列或等比數(shù)列嗎？若可能給出一個(gè)成立的條件（不必證明）；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若q=2，d=3，是否存在常數(shù)x，使得數(shù)列{a_n+x}為等比數(shù)列；
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求滿足S_n≥2009的最小自然數(shù)n的值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹恍枰獙懗鲆粋�(gè)成立的條件（不必證明），就可以答：當(dāng)q=1時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列；當(dāng)d=0且q≠0時(shí)數(shù)列為等比數(shù)列
（2）直接根據(jù)q=2，d=3得到a_n=2a_n-1+3整理得到a_n+3=2（a_n-1+3）即可說(shuō)明結(jié)論；
（3）先根據(jù)二的結(jié)論求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，再解不等式即可．（是利用驗(yàn)證法求解的）．

解答：解：（1）當(dāng)q=1時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列；當(dāng)d=0且q≠0時(shí)數(shù)列為等比數(shù)列
（2）由已知得a_n=2a_n-1+3，所以a_n+3=2（a_n-1+3）
∴存在x=3使得{a_n+x}為等比數(shù)列
（3）由（2）得a_n=2ⁿ⁺²-3，
∴S_n=2ⁿ⁺³-3n-8，
∵S_n≥2009
即2ⁿ⁺³-3n-8≥2009
∴n的最小值為8

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．解決第二問(wèn)的關(guān)鍵在于根據(jù)a_n=2a_n-1+3得到a_n+3=2（a_n-1+3），這也是數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用問(wèn)題．