Question

設(shè)有兩個(gè)命題：p：關(guān)于x的不等式x²+|2x-4|-a≥0對(duì)一切x∈R恒成立；q：已知a≠0，a≠±1，函數(shù)y=-|a|^x在R上是減函數(shù)，若p∧q為假命題，p∨q為真命題．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)絕對(duì)值內(nèi)的式子符號(hào)進(jìn)行分類討論，求出命題p為真時(shí)a的范圍，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出q為真時(shí)的對(duì)應(yīng)a的范圍，再由p∧q為假，p∨q為真，則p，q一真一假求出a的取值范圍．

解答：解：∵不等式x²+|2x-4|-a≥0時(shí)x∈R恒成立
∴x²+|2x-4|≥a時(shí)x∈R恒成立，
令y=x2+|2x-4|=

x2+2x-4(x≥2) x2-2x+4(x＜2)

，
∴y_min=3，∴a≤3
∴命題p為真：a≤3
函數(shù)y=-|a|^x（a≠0，a≠±1）在R上是減函數(shù)
∴|a|＞1，∴a＞1或a＜-1
∵p∧q為假，p∨q為真，∴p，q一真一假
∴

a≤3 -1＜a＜1

或

a＞3 a＞1或a＜-1

∴-1＜a＜1或a＞3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合命題的真假性，涉及了絕對(duì)值不等式的求法，恒成立問(wèn)題，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．