Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于-。
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M、N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-1）
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）
由題意得
化簡得x²+3y²=4（x≠±1）
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+3y²=4（x≠±1）；
（2）若存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀）
則
因?yàn)閟in∠APB=sin∠MPN，
所以
所以
即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得
因?yàn)閤₀²+3y₀²=4，
所以
故存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為。