Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2（a+1）x+a²+1，x∈R．
（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；
（2）若a∈R，解關(guān)于x的不等式f（x）＜0；
（3）若x∈[0，2]時，f（x）≥a²（1-x）恒成立．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=x²-6x+5=（x-1）（x-5）＜0，由二次不等式的解法可求
（2）f（x）=0時△=8a，二次函數(shù)的圖象開口向上，分類討論①△≤0②△＞0兩種情況分別進(jìn)行求解
（3）任意的x∈[0，2]，x²+1≥（-a²+2a+1）x，成立①當(dāng)x=0時，不等式顯然成立②當(dāng)x∈（0，2]，可得-a2+2a+2≤x+

1

x

，通過研究函數(shù)x+

1

x

的最值可求a的范圍

解答：解：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=x²-6x+5=（x-1）（x-5）＜0
∴1＜x＜5-----（2分）
（2）f（x）=0時△=8a--（4分）
當(dāng)a≤0，x∈Φ；-----（6分）
當(dāng)a＞0，a+1-

2a

＜x＜a+1+

2a

---（8分）
（3）由題意：任意的x∈[0，2]，x²+1≥（-a²+2a+1）x，成立
當(dāng)x=0時，不等式顯然成立--（10分）
當(dāng)x∈（0，2]，-a2+2a+2≤x+

1

x

．
∵x+

1

x

≥2，(x=1 時取等)
∴-a²+2a+2≤2，即a≤0或a≥2
綜上：a≤0或a≥2---（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查了二次不等式的解法，二次不等式的恒成立問題的應(yīng)用及利用基本不等式求解函數(shù)的最值等知識的綜合應(yīng)用．