Question

（滿分12分）已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

(1)增區(qū)間，減區(qū)間；(2)；(3).

【解析】

試題分析：(1)將代入函數(shù)解析式，直接利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；(2)將條件“在區(qū)間上為減函數(shù)”等價轉(zhuǎn)化為“不等式在區(qū)間上恒成立”，結(jié)合參數(shù)分離法進行求解；(3)構造新函數(shù)，將“不等式在區(qū)間上恒成立”等價轉(zhuǎn)化為“”，利用導數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性圍繞進行求解，從而求出實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）當時，

解得；解得

故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是

（2）由題知 對恒成立

即對恒成立

（3）因為當時，不等式恒成立

即恒成立，設

只需即可

由

①當時，

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減故成立；

②當時，令，因為，所以解得

（i）當，即時，在區(qū)間上

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上無最大值，不合題設；

（ii）當時，即時，在區(qū)間上；在區(qū)間上．

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，同樣在無最大值，不滿足條件；

③當時，由，故

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)；2．分類討論；3．參數(shù)分離法.