（2013•閔行區(qū)二模）過坐標原點O作傾斜角為60°的直線交拋物線Γ：y2=x于P1點，過P1點作傾斜角為120°的直線交x軸于Q1點，交Γ于P2點；過P2點作傾斜角為60°的直線交x軸于Q2點，交Γ于P3點；過P3點作傾斜角為120°的直線，交x軸于Q3點，交Γ于P4點；如此下去…．又設線段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Qn-1Qn，…的長分別為a1，a2，a3，…，an，…，數(shù)列{an}的前n項的和為Sn．
（1）求a1，a2；
（2）求an，Sn；
（3）設bn=aan(a＞0且a≠1)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若正整數(shù)p，q，r，s成等差數(shù)列，且p＜q＜r＜s，試比較Tp•Ts與Tq•Tr的大�。�
分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質，算出點P1(
a1
2
，
3
a1
2
)，代入拋物線求得a1=
2
3
，同樣的方法可算出a2=
4
3
；
（2）由點Qn-1（Sn-1，0）建立直線Qn-1Pn的方程，與拋物線方程消去x得關于|y|的方程，解出|y|關于Sn的表示式，根據(jù)等邊三角形性質和三角函數(shù)定義加以計算，化簡整理得3
a
2
n
-2an=4Sn-1，用n+1代替n得到3
a
2
n+1
-2an+1=4Sn，將兩式作差整理可得an+1-an=
2
3
，從而得到{an}是以
2
3
為首項、
2
3
為公差的等差數(shù)列，再用等差數(shù)列通項與求和公式可得an、Sn的表達式；
（3）由（2）得{bn}是公比q0=a
2
3
≠1、首項b1=a
2
3
=q0的正項等比數(shù)列．因此根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，將Tp•Ts與Tq•Tr作差，結合正整數(shù)p，q，r，s成等差數(shù)列且p＜q＜r＜s，化簡整理可得Tp•Ts-Tq•Tr=-
q
p
0
(
q
d
0
-1)(
q
2d
0
-1)，
討論所得結果的可得Tp•Ts-Tq•Tr＜0，可得必定有Tp•Ts＜Tq•Tr對任意成等差數(shù)列的正整數(shù)p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到本題答案．
解答：解：（1）如圖，由△OQ1P1是邊長為a1的等邊三角形，得點P1的坐標為(
a1
2
，
3
a1
2
)，
又∵P1(
a1
2
，
3
a1
2
)在拋物線y2=x上，
∴
3
a
2
1
4
=
a1
2
，得a1=
2
3
…（2分）
同理根據(jù)P2(
2
3
+
a2
2
，-
3
a2
2
)在拋物線y2=x上，可得a2=
4
3
…（4分）
（2）如圖，因為點Qn-1的坐標為（a1+a2+a3+…+an-1，0），即點（Sn-1，0）（點Q0與原點重合，S0=0），
所以直線Qn-1Pn的方程為y=
3
(x-Sn-1)或y=-
3
(x-Sn-1)，
因此，點Pn的坐標滿足
y2=x
|y|=
3
(x-Sn-1)

消去x得
3
y2-|y|-
3
Sn-1=0，所以|y|=
1+
1+12Sn-1
2
3
…（7分）
又|y|=an•sin60°=
3
2
an，故3an=1+
1+12Sn-1

從而3
a
2
n
-2an=4Sn-1…①
由①有3
a
2
n+1
-2an+1=4Sn…②
②-①得3(
a
2
n+1
-
a
2
n
)-2(an+1-an)=4an
即（an+1+an）（3an+1-3an-2）=0，又an＞0，于是an+1-an=
2
3

所以{an}是以
2
3
為首項、
2
3
為公差的等差數(shù)列，an=a1+(n-1)d=
2
3
n
由此可得：Sn=
(a1+an)n
2
=
1
3
n(n+1)…（10分）
（3）∵
bn+1
bn
=
a
2(n+1)
3
a
2n
3
=a
2
3
，
∴數(shù)列{bn}是正項等比數(shù)列，且公比q0=a
2
3
≠1，首項b1=a
2
3
=q0，
∵正整數(shù)p，q，r，s成等差數(shù)列，且p＜q＜r＜s，設其公差為d，則d為正整數(shù)，
∴q=p+d，r=p+2d，s=p+3d
則Tp=
b1(1-
q
p
0
)
1-q0
，Tq=
b1(1-
q
p+d
0
)
1-q0
，Tr=
b1(1-
q
p+2d
0
)
1-q0
，Ts=
b1(1-
q
p+3d
0
)
1-q0
…（12分）
Tp•Ts-Tq•Tr=
b
2
1
(1-q0)2
•[(1-
q
p
0
)(1-
q
p+3d
0
)-(1-
q
p+d
0
)(1-
q
p+2d
0
)]=
b
2
1
(1-q0)2
•[(
q
p+d
0
+
q
p+2d
0
)-(
q
p
0
+
q
p+3d
0
)]…（14分）
而(
q
p+d
0
+
q
p+2d
0
)-(
q
p
0
+
q
p+3d
0
)=
q
p
0
(
q
d
0
-1)-
q
p+2d
0
(
q
d
0
-1)
=(
q
d
0
-1)(
q
p
0
-
q
p+2d
0
)=(
q
d
0
-1)
q
p
0
(1-
q
2d
0
)=-
q
p
0
(
q
d
0
-1)(
q
2d
0
-1)…（16分）
由于a＞0且a≠1，可得q0=a
2
3
＞0且q0≠1，
又∵d為正整數(shù)，∴(
q
d
0
-1)與(
q
2d
0
-1)同號，
因此，-
q
p
0
(
q
d
0
-1)(
q
2d
0
-1)＜0，可得Tp•Ts＜Tq•Tr． 
綜上所述，可得若正整數(shù)p，q，r，s成等差數(shù)列，且p＜q＜r＜s，必定有Tp•Ts＜Tq•Tr．…（18分）
點評：本題給出拋物線中的等邊三角形，求按圖中作出的等邊三角形Qn-1QnPn的邊長an的表達式，并設bn=aan，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，在成等差數(shù)列的正整數(shù)p、q、r、s滿足且p＜q＜r＜s的情況下討論Tp•Ts與Tq•Tr的大小關系．著重考查了拋物線的幾何性質、直線與拋物線的位置關系、不等式的性質和等差等比數(shù)列的通項與求和公式等知識，屬于難題．
練習冊系列答案
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（2013•閔行區(qū)二模）方程組
x-2y-5=0
3x+y=8
的增廣矩陣為
1-25
318
1-25
318
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，則集合M∩N=
{x|1＜x＜2}
{x|1＜x＜2}
．

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（2013•閔行區(qū)二模）若Z1=a+2i，Z2=
.
12i
23
.
，且
z1
z2
為實數(shù)，則實數(shù)a的值為
-
3
2
-
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）用二分法研究方程x3+3x-1=0的近似解x=x0，借助計算器經(jīng)過若干次運算得下表：
運算次數(shù) 1 … 4 5 6 …
解的范圍 （0，0.5） … （0.3125，0.375） （0.3125，0.34375） （0.3125，0.328125） …
若精確到0.1，至少運算n次，則n+x0的值為
5.3
5.3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）已知
e
1、
e
2是夾角為
π
2
的兩個單位向量，向量
a
=
e
1-2
e
2，
b
=k
e
1+
e
2，若
a
∥
b
，則實數(shù)k的值為
-
1
2
-
1
2
．

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