Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），且當(dāng)x≠o時(shí)，f（x）≠0．
（1）求證：f（0）=0
（2）證明：f（x）是偶函數(shù)．并求f（x）的表達(dá)式
（3）若f（x）=alnx有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0，
∴f（0）=2f（0）
∴f（0）=0；
（2）令x=y=1代入f（xy）=f（x）f（y）∴f（1）=f（1）²，
∵當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）≠0，
∴f（1）=1，
令y=x代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），
f（2x）=2f（x）+2x²，f（2x）=f（2）f（x），
∴f（2）f（x）=2f（x）+2x²，
∵f（2）=2f（1）+2=4，
∴f（x）=x²，f（-x）=f（x）
∴f（x）為偶函數(shù)；
（3）∵f（x）=alnx有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴令h（x）=f（x）-alnx=x²-xlnx，
∴h′（x）=2x-，令h′（x）=0，
解得x=±，
當(dāng)-＜x＜時(shí)，h′（x）＜0，f（x）單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)x≥或x≤-時(shí)，h′（x）＞0，f（x）單調(diào)增函數(shù)；
如下圖：要求h（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
可得h（-）=0，
∴a=
分析：（1）令x=y=0代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，即可求解；
（2）求出f（x）的表達(dá)式再判斷奇偶性，由f（xy）=f（x）f（y），令x=y=1，得f（1）=1，再令y=x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，求出f（x），即可求解．
（3）令h（x）=f（x）-alnx，對(duì)其求導(dǎo)，求出h（x）的單調(diào)區(qū)間，畫出草圖，即可求解；
點(diǎn)評(píng)：此題考查抽象函數(shù)的問(wèn)題，這類題一般都利用特殊值法，先求出幾個(gè)特殊值f（0），f（1）等，看似很難其實(shí)比較簡(jiǎn)單，最后一問(wèn)用到了利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中構(gòu)造函數(shù)h（x）很關(guān)鍵．