Question

1．一中科普興趣小組通過查閱生物科普資料統(tǒng)計(jì)某花卉種子的發(fā)芽率與晝夜溫差之間的關(guān)系，他們分別從近十年3月份的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了5天記錄晝夜溫差及每天30顆種子的發(fā)芽數(shù)，并列表如下：

日期	2012-3-1	2013-3-5	2008-3-15	2009-3-20	2016-3-29
溫差x	10	11	13	12	9
發(fā)芽數(shù)y	15	16	17	14	13

參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=832，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=615，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$$-b\overline{x}$
（1）請(qǐng)根據(jù)以上5組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）假如現(xiàn)在要對(duì)（1）問中的線性回歸方程的可靠性進(jìn)行研究：如果由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與另外抽取的兩組數(shù)據(jù)的誤差的平方和不超過2，即認(rèn)為此線性回歸方程可靠的．如果另外隨機(jī)抽取的兩組數(shù)據(jù)為：溫差8℃，發(fā)芽數(shù)為12和溫差14℃，發(fā)芽數(shù)為18．請(qǐng)由此判斷（1）中的線性回歸方程是否可靠；（3）如果將以上5天數(shù)據(jù)中30顆種子發(fā)芽數(shù)超過15顆（包含15顆）的天數(shù)的頻率作為整個(gè)2017年3月份的30顆種子發(fā)芽數(shù)超過15顆（包含15顆）的天數(shù)的概率，求從2017年3月份的1號(hào)到31號(hào)的31天中任選5天，記種子發(fā)芽數(shù)超過15顆（包含15顆）的天數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的期望和方差．

Answer 1

分析 （1）由記錄晝夜溫差及每天30顆種子的發(fā)芽數(shù)列表求出$\overline{x}$=11，$\overline{y}$=15，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=832，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=615，從而得到b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=0.7，a=$\overline{y}$$-b\overline{x}$=7.3，由此能求出y關(guān)于x的線性回歸方程．
（2）當(dāng)x=8時(shí)，$\widehat{y}$=0.7×8+7.3=12.9，當(dāng)14時(shí)，$\widehat{y}$=0.7×14+7.3=17.1，由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與另外抽取的兩組數(shù)據(jù)的誤差的平方和小于2，從而（1）中的線性回歸方程是可靠的．
（3）由題意得X的可能取值為0，1，2，推導(dǎo)出X～B（5，$\frac{3}{5}$），由此能求出X的期望和方差．

解答 解：（1）由記錄晝夜溫差及每天30顆種子的發(fā)芽數(shù)列表，得：
$\overline{x}$=$\frac{10+11+13+12+9}{5}$=11，$\overline{y}$=$\frac{15+16+17+14+13}{5}$=15，
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=832，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=615，
∴b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=0.7，a=$\overline{y}$$-b\overline{x}$=7.3，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為$\widehat{y}$=0.7x+7.3．
（2）由（1）知，當(dāng)x=8時(shí)，$\widehat{y}$=0.7×8+7.3=12.9，
當(dāng)14時(shí)，$\widehat{y}$=0.7×14+7.3=17.1，
∴由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與另外抽取的兩組數(shù)據(jù)的誤差的平方和為：
（12.9-12）²+（17.1-18）²=1.62＜2，
∴（1）中的線性回歸方程是可靠的．
（3）由題意得X的可能取值為0，1，2
從2017年3月份的1號(hào)到31號(hào)的31天抽取的5天中每天30顆種子發(fā)芽數(shù)超過15顆（包含15顆）的天數(shù)的概率均為$\frac{3}{5}$，
且每天的發(fā)芽是否超過15顆（包含15顆）互相不影響，∴X～B（5，$\frac{3}{5}$），
∴EX=5×$\frac{3}{5}$=3，DX=$5×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方思想，是中檔題．