Question

已知函數(shù)f（x）=x+，h（x）=．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）設(shè)a∈R，解關(guān)于x的方程㏒₄[f（x-1）-]=㏒₂h（a-x）-㏒₂h（4-x）；
（Ⅲ）試比較f（100）h（100）-與的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．即可求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）先把原等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a和x之間的等量關(guān)系，最后利用圖象來(lái)求x的值（注意對(duì)a的討論）．
（Ⅲ）把f（100）h（100）-轉(zhuǎn)化為一新數(shù)列 {a_n}的前100項(xiàng)和，再比較新數(shù)列 {a_n}的每一項(xiàng)和對(duì)應(yīng)h（x）=之間的大小關(guān)系，即可比較f（100）h（100）-與的大�。�
解答：解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）-h（x）=x+-（x≥0）知，
F'（x）=，令F'（x）=0，得x=．
當(dāng)x∈（0，）時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0；當(dāng)x∈（，=∞）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0．
故x∈（0，）時(shí)，F(xiàn)（x）是減函數(shù)；
故F（x）x∈（，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）是增函數(shù)．
F（x）在x=處有極小值且F（）=．

（Ⅱ）原方程可化為log₄（x-1）+log₂ h（4-x）=log₂h（a-x），
即log₂（x-1）+log₂=log₂，??
①當(dāng)1＜a≤4時(shí)，原方程有一解x=3-；
②當(dāng)4＜a＜5時(shí)，原方程有兩解x=3；
③當(dāng)a=5時(shí)，原方程有一解x=3；
④當(dāng)a≤1或a＞5時(shí)，原方程無(wú)解．
 （Ⅲ）設(shè)數(shù)列 {a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，且s_n=f（n）g（n）-
從而有a₁=s₁=1．
當(dāng)2＜k≤100時(shí)，a_k=s_k-s_k-1=，a_k-=[（4k-3）-（4k-1）]==＞0．
即對(duì)任意的2＜k≤100，都有a_k＞．
又因?yàn)閍₁=s₁=1，
所以a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀＞=h（1）+h（2）+…+h（100）
故f（100）h（100）-＞
點(diǎn)評(píng)：題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系以及函數(shù)極值的求法和函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用問(wèn)題．在解題過(guò)程中，用到了分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，是一道綜合性很強(qiáng)的好題．